0 引言

矢量水听器及其信号处理技术是当前水声领域的研究热点之一。相对于标量声压水听器，矢量水听器的优势在于能够同时、共点测量声场的声压和质点振速^[1]。单个振速传感器就可提供探测目标的方位声信息。由于较大的阵列孔径要求限制了声压水听器在水下小型无人平台场景中的应用，同时综合考虑经济、中低频目标测向等因素，单矢量水听器可为一系列水声问题提供另一个有效的解决思路。

较常用的矢量水听器分为同振型和压差式^[2]。同振型矢量水听器制作工艺要求较严格，使得阵元满足具有与传播介质中质点相同的振动形式，通过阵元内的惯性原件获取振速信息，安装和布放复杂；压差式矢量水听器结构简单、装配方便、价格便宜，对机械振动不敏感^[3]。

单矢量水听器信号处理技术研究多集中于 DOA（Direction of Arrival，DOA）估计技术方面。 NEHORAI^[4]、HAWKES^[5]、NAJEEM^[6]、梁国龙^[7] 等人分别对基于各类阵列信号处理算法的单矢量水听器 DOA 估计技术进行了深入研究。杨士莪^[8]、 YANG^[9]等人在单矢量水听器测向技术方面也均有独到的理解，近年也有学者做出了算法改进^[10]。

然而上述应用于单矢量水听器的波束形成及其扩展算法大都基于同振型矢量传感器阵列流型，并未针对压差式矢量传感器做出相应的考虑。压差式矢量水听器的测向算法研究较少^[11-14]，幅度偏差和相位偏差均会对压差式矢量水听器信号方位估计带来不可忽视的误差，较宽的波束使得单个二维压差式矢量传感器不适宜使用波束形成方法分辨多目标方位^[15]。由于两者之间阵列流型的差异，以及较低频率范围的应用场景，通常单压差式矢量水听器应用常用 DOA 估计算法的“工程近似条件” 为其直径波长比不超过 0.15^[1]，当超出此范围时，对于以计算反正切值进行方位估计的声强流法，会产生较大的方位估计性能恶化。对此，王绪虎给出了相应的几种校正算法，包括修正声强法、修正 MVDR 方法以及修正 MUSIC 算法^[16-17]。对上述几种方法，研究中均给出了对压差式矢量水听器阵列流型的修正。但是修正声强法对信噪比要求较高，且所有方法中并未给出使用范围的直径波长比上限。

对此，本文通过对修正声强法中 x、y 轴声强之比进行函数求导，发现其导数值并不总为正，当函数不单调时，其与方位角不再呈一一对应关系，修正声强法不再适用，因而得到修正声强法应用的直径波长比应用上限。此上限同时适用于文献^[16]和^[17]中的几种方位估计优化算法。此外，针对修正声强法信噪比要求较高的问题，本文使用瞬时频率方差加权法，利用目标线谱与背景噪声两者瞬时频率能量起伏稳定性的差异，为带内瞬时频率方差较小的频率单元赋予较大的权值，瞬时频率方差较大的单元权值则设置为较小，以此抑制环境噪声对目标声源的影响，改善修正声强法测向的信噪比性能。以单频信号作为待测信号进行仿真对比，结果表明：与文献^[17]中的修正声强法相比，本文提出算法可以在较低信噪比下保持方位估计的鲁棒性。

1 系统模型

压差式矢量水听器不通过直接测量得到声场质点振速，而是利用质点的声压梯度间接得到矢量水听器中心位置处的振速。压差式矢量水听器通常由几组彼此垂直的偶极子对构成，每组响应一致的声压水听器对构成一组偶极子对。本文只讨论二维压差式矢量水听器的信号模型。

图1 为二维压差式矢量水听器结构平面图。

如图1 所示，单个二维压差式矢量传感器可看作四元离散平面圆阵，远场平面波环境下，它的信号模型根据离散圆阵模型表示为

式中：$\mathit{a}（\theta ）={\left[{\mathrm{e}}^{jkr\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\theta -{\gamma }_0\right)}，{\mathrm{e}}^{jkr\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\theta -{\gamma }_1\right)}，{\mathrm{e}}^{jkr\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\theta -{\gamma }_2\right)}，{\mathrm{e}}^{jkr\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\theta -{\gamma }_3\right)}\right]}^{\mathrm{T}}$表示矢量传感器的方向矢量；r 为阵元到水听器中心点处的距离；$k=2\pi /\lambda$ 为信号波数；${\gamma }_i=i\pi /2（i=\mathrm{0，1}，\mathrm{2，3}）$； θ 为待测信号水平方位角。将式（1）展开得到压差式矢量水听器单信号模型：

式中：ω₀ 为信号角频率；$n（t）=\left[n_1（t），n_2（t）\right.{\left.n_3（t），n_4（t）\right]}^{\mathrm{T}}$为各通道噪声项；$u（t）$为信号初相位。

为简化公式推导，忽略噪声项。由于压差式矢量水听器尺寸相对于信号波长而言比较小，可用其 4 个声压输出的均值代替水听器中心点的声压信号：

$\breve{p}\left(t\right)=\frac{1}{4}\left[p_1\left(t\right)+p_2\left(t\right)+p_3\left(t\right)+p_4\left(t\right)\right]=$

$kr\ll 1$时，可进行如下简化：

压差式矢量水听器中心点声压化简为

中心点处的声压梯度可由相对的 2 个阵元上的接收信号相减得到，振速分量由声压梯度做 90° 移相处理，表示为

相同地，当$kr\ll 1$时，有

振速分量可近似表示为

一般地，单压差式矢量水听器对角阵元间距 （即直径 d）与波长 λ 之比$0⩽d/\lambda ⩽0.15$ 时，符合$kr\ll 1$，即可认为满足工程近似条件^[1]，此时可应用传统的复声强法得到 DOA 估计结果。下面将给出复声强法 DOA 估计的计算过程。

声强是指垂直于声传播方向的单位面积上通过的平均声能流。对于矢量水听器，它可以通过声压和质点振速获得。

由于信号与噪声之间，各路噪声之间相关性小，忽略噪声影响，平均声强在 x 轴和 y 轴方向的分量表示为

复声强在 x 轴和 y 轴方向的频域表示为

式中，$（\cdot {）}^{\mathrm{H}}$表示取共轭。则声源在各频点的入射角度为

式中，$\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{l}[\cdot ]$为取实部，通过计算频带内各频点的方位估计结果，取整后在[0°，360°]范围内累计，即可得到方位扫描图。以上是复声强直方图方位估计方法。

2 修正声强法

上述复声强直方图法进行方位估计的前提是$kr\ll 1$，也即 $0⩽d/\lambda ⩽0.15$，不满足上述前提会造成方位估计性能恶化。为了在现有的压差式矢量水听器结构不改变的情况下，扩展其可应用的频率范围，在不满足工程近似条件的情况下实现 DOA 估计，对复声强法做出如下修正。令$I_p=\overline{\breve{p}（t）\breve{p}（t）}，{\breve{I}}_x=\overline{\stackrel{-}{p}（t）{\breve{v}}_x（t）}，{\breve{I}}_y=\overline{\stackrel{-}{p}（t）{\breve{v}}_y（t）}$，省略公共系数，由式（3）、式（7）、式（8）推导可得

将 $I_p$，${\breve{I}}_x$，${\breve{I}}_y$ 作为已知条件，可得

修正声强法通过式（19）得到方位角的估计结果，

对于单压差式矢量水听器而言，为了在不满足 $kr\ll 1$的情况下得到准确的 DOA 估计结果，在应用复声强法进行 DOA 估计时，应由$\widehat{\theta }\approx \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\left(I_y/I_x\right)$的近似计算转变为通过${\breve{I}}_y/{\breve{I}}_x=\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}（kr\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta ）/\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}（kr\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta ）$得到方位角估计结果。修正声强法通过公式变换，首先得到 $kr\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta ，kr\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta$，然后进行反正切。这种方法带来 2 个问题：1）该方法的应用条件本质上是一种映射关系，通过将${\breve{I}}_y/{\breve{I}}_x$ 的值首先映射到 $kr\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta /kr\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta$，然后通过反正切计算映射到方位角 θ ，这需要保证函数是单调的，否则估计结果会产生错误；2）修正声强法的估计精度对信噪比有较高要求，低信噪比下估计误差较大，这点将在仿真部分进行证明。

3 直径波长比上限

根据修正声强法存在的第 1 个问题，给出函数${\breve{I}}_y/{\breve{I}}_x=\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}（kr\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta ）/\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}（kr\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta ）$单调性的推导，并由此得到由压差式矢量水听器进行 DOA 估计的直径波长比应用上限，$d/\lambda <0.71（kr<2.23）$。

对于同振式矢量水听器，复声强法通过$\widehat{\theta }=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}（\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta /\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta ）$得到方位角估计值，但对于二维压差式矢量水听器，则不同通道的复声强之比只可以得到

修正声强法用式（19）代替式（21），然后通过式（20）计算函数反正切得到方位估计结果。在 kr 固定的情况下，如果式（21）函数不单调，则可能有不同角度 θ 对应相同的复声强之比 y，通过反正切计算求得的方位估计值就不唯一，无法判断真值。据此对式（21）求导，通过找出函数的单调性区间得到修正声强法可能应用的 kr 取值范围。

不考虑 $[\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}（kr\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta ）{]}^2$ 为 0 的情况， kr 恒为正，对求导结果进行归一化处理，可得到图2 所示的结果。图中 x 轴为 kr，取值范围为[0.1，3]；y 轴为方位角，取值范围为 1°~360°，z 轴数值结果为归一化函数导数值。

在图中生成 z=0，kr=2.23 这 2 个相互垂直的平面，与函数导数结果相交。如图所示，当$kr\ll 1$时，对于 1°~360°任意的方位角度，函数导数值恒大于 0，函数单调递增。此时满足工程近似条件，对于以近似计算得到的方位估计结果，只要以固定数值进行补偿，即可得到较为准确的估计值。当 kr 取值逐渐增加，从 1 附近一直到小于 2.23 的范围内，函数导数值仍恒大于 0，但此时导数随着方位角度变化，已不再线性变化了，此时，不能单纯地对所有方位角估计结果以固定的数值进行补偿，此范围区间可应用修正声强法得到较为准确的测向结果。当 kr 结果超过 2.23 时，对于不同方位角，函数导数结果有正有负，函数不单调，此时每一个反正切结果可能对应 2 个以上方位角，会造成方位估计错误。为了更直观地显示不同 kr 值对应函数导数结果随不同方位角的变化情况，给出 kr 低于、等于、高于 2.23 时对应函数导数结果变化情况如图3 所示。

所以，kr=2.23 是修正声强法应用的取值上限，将其转换为直径波长比，即

可以得到修正声强法应用的直径波长比上限近似为 0.71。对于压差式矢量水听器，当$0⩽d/\lambda ⩽0.15$时，满足工程近似条件，可通过式 （16）直接计算；当$0.15<d/\lambda <0.71$ 时，不满足工程近似条件，可利用修正声强法进行方位估计；当直径波长比超过 0.71 时，近似计算和修正声强法均失效。

4 瞬时频率方差加权法

在通过复声强法进行方位估计时，声强由声压和振速的乘积获得，由于矢量水听器每一通道信号均携带噪声，声强中就包含了噪声的平方项，而修正声强法在利用式（19）获得需计算反正切的中间项时，需要计算每路声强的平方项，因此包含了噪声的四次方项。因此，修正声强法方位估计对噪声比较敏感，较低的信噪比将严重影响修正声强法方位估计性能。为了改善修正声强法的信噪比性能，本文使用瞬时频率方差加权方法，利用待测信号瞬时频率较稳定而环境噪声瞬时频率随机变化的特点，对单压差式矢量水听器各通道频率单元根据其瞬时频率方差进行加权处理，提高修正声强法信噪比增益的同时，有效降低了环境噪声的干扰，提高了修正声强法的低信噪比性能。

瞬时频率方差加权法流程图如图4 所示，具体信号处理过程如下。

二维单压差式矢量水听器接收声压信号 $x（t）$ 经数字采样后，首先分为等时长的 M 部分，对每部分做相同点数的 FFT，得到每段信号的频谱$X\left(n，f_k\right)，n=\mathrm{1，2}，\dots ，M，k=\mathrm{1，2}，\dots ，K，K$ 为频点数。

瞬时频率的定义为

将其离散化，忽略系数，瞬时频率由相位的一阶差分近似，表示为

式中：

$1⩽n^{\mathrm{\text{'}}}⩽M-1;\varphi \left(n^{\mathrm{\text{'}}},f_k\right)=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\left[\frac{\mathrm{Imag}\left(X\left(n,f_k\right)\right)}{\mathrm{Real}\left(X\left(n,f_k\right)\right)}\right]$。

所有频点的瞬时频率短时均值$\stackrel{-}{f}\left(n^{\mathrm{\text{'}}}，f_k\right)$表示为

瞬时频率方差表示为

窄带信号的瞬时频率方差只是信噪比的函数，而宽带噪声的瞬时频率方差显著大于信号的瞬时频率方差^[18]，利用信号和噪声的上述特点，如果增加目标信号频率的权重，降低噪声频率的权重，则可抑制噪声对信号声强的影响，从而提高修正声强法对二维压差式矢量水听器方位估计的精度。本文使用瞬时频率方差的倒数作为权重系数对压差式矢量水听器各通道频率单元进行加权得到频谱。加权后声压信号表示如下：

5 性能仿真

为了验证本文给出的直径波长比范围上限，进行了算法仿真验证。仿真中，环境噪声使用空间各向同性的高斯白噪声，信噪比 20 dB，采样频率为 48 kHz。构造频率为 13.316 kHz 的单频信号，每段信号持续时间 100 ms，信号方位角以 1°为步长变化，范围在[1°，89°]，信号总持续时间为 8.9 s，以相同方式构造 15 kHz 单频信号。单压差式矢量水听器对角阵元间距为 0.08 m，水中声速设为 1 500 m/s，13.316 kHz 单频信号对应直径波长比 d / λ为 0.71，为本文描述修正声强法直径波长比应用上限，15 kHz 单频信号对应 d / λ为 0.8，超过直径波长比上限。

图5 为以修正声强法进行仿真得到的方位估计结果与真实方位的对比图。图中深色部分为真实方位角，白色部分为修正声强法估计结果，黑色椭圆圈中区域为估计错误部分。在图5（a） 中，以修正声强法进行 DOA 估计会在大部分角度具有变化的误差，且在少部分角度出现严重估计错误；当参数条件明显超出直径波长比上限时，估计错误区域会变大。仿真结果与图2 相对应，当应用条件超出半径波长比应用上限时，由于导数同时具有大于 0 和小于 0 的部分，函数随着方位角变化，会在某些方位角具有相同的函数值，导致结果计算错误。直径波长比超过上限，函数导数小于 0 的部分会越来越多，导致出现取值相同的方位更多，修正声强法在这种情况下无法应用。

为了验证瞬时频率方差加权法对修正声强法的信噪比性能改进，进行仿真验证。仿真条件中，背景环境噪声设为 0，采样率 48 kHz，单频信号构造方法与上文一致，频率变更设置为 8 kHz，单压差式矢量水听器对角阵元间距为 0.08 m，水中声速设为 1 500 m/s，此时对应的直径波长比为 0.187 5，超过工程应用条件限制 0.15，且不超过提出算法的应用上限 0.7。仿真结果如图6 所示。

深色点代表真实方位结果，白色点代表噪声条件下基于瞬时频率方差加权改进算法和修正声强法方位估计结果，灰色点代表真实方位结果和估计方位结果重合。从仿真结果中可以看出，在 0 噪声的影响下，修正声强法方位估计已存在较大误差，而提出算法依然可以较准确的进行方位估计，方位估计最大误差仅为 1°。

为了比较本文提出的瞬时频率方差加权法对修正声强法在低信噪比下方位估计精度的改善，对修正声强法及本文改进算法的方位估计均方根误差进行仿真，结果如图7 所示。在–10~30 dB 信噪比条件下，每次信号采样长度为 5 min，将采样数据分为 50 段，每段 6 s 进行频谱分析与处理。目标信号为单频信号，频率为 8 kHz，水平入射角度在 0°~360°服从均匀分布，背景噪声为高斯白噪声。

仿真结果表明在–10~10 dB 较低信噪比条件下，提出算法比修正声强法方位估计精度更高，随着信噪比进一步提高，两者估计精度差异逐渐减小。瞬时频率方差加权算法表现出对修正声强法低信噪比性能的明显改善。

6 结束语

针对单压差式矢量水听器复声强法方位估计在直径波长比方面的限制，本文通过修正声强法方位估计的函数导数推导，给出了修正声强法应用的理论直径波长比上限，具体数值为 0.71。直径波长比上限约束了压差式矢量水听器的换能器尺寸以及被动测向可用频率范围，为了解决这个问题可以从换能器制作工艺入手，使换能器尺寸尽量小一些，目前压差式矢量水听器直径可以做到 10 cm 以下，在一定程度上扩展了应用频带范围；另外也可根据实际应用需求合理设置合作目标信号频率，使其直径波长比尽量远离上限，以便达到较好的测向精度。

为了解决修正声强法方位估计需要较高信噪比的问题，本文使用瞬时频率方差加权法改善基于单压差式矢量水听器的修正声强法，使算法在低信噪比环境下具有更高的测向精度。

仿真结果表明：修正声强法的应用确实存在直径波长比上限。更进一步地，当直径波长比不满足工程应用近似条件，且未达到直径波长比上限时，使用瞬时频率方差加权法可以有效拓展修正声强法方位估计在低信噪比条件下的应用范围，使其可以在–10~10 dB 信噪比条件下，方位角估计均方根误差缩小至 5°以内。压差式矢量水听器制作工艺的改进、基于压差式矢量水听器的阵列信号处理算法、提升测向精度的算法等都是未来可改进和深入研究的方向。

参考文献