L波段海水介电模型构建与误差分析

李伊凡; 李新宇; 王进; LI Yifan; LI Xinyu; WANG Jin

引 en

L波段海水介电模型构建与误差分析

李伊凡

机构：

青岛大学物理科学学院，山东青岛 266071

×
，李新宇

机构：

青岛大学物理科学学院，山东青岛 266071

×
，王进

机构：

青岛大学物理科学学院，山东青岛 266071

×

青岛大学物理科学学院，山东青岛 266071；

Construction and Error Analysis of L-band Seawater Dielectric Model

LI Yifan

Affiliation：

College of Physics，Qingdao University，Qingdao 266071 ，China

×
， LI Xinyu

Affiliation：

College of Physics，Qingdao University，Qingdao 266071 ，China

×
， WANG Jin

Affiliation：

College of Physics，Qingdao University，Qingdao 266071 ，China

×

College of Physics，Qingdao University，Qingdao 266071 ，China；

作者简介:

李伊凡（2001-），女，硕士生，主要从事海洋遥感研究。

通讯作者:

王进（1979-），男，博士，副教授，主要从事被动微波海洋遥感以及海洋气候数据集相关研究。

中图分类号:P76

文献标识码:A

文章编号:2096-5753(2024)07-0072-07

DOI:10.19838/j.issn.2096-5753.2024.07.009

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目录contents

摘要Abstract
关键词Keywords
0 引言
1 数据与方法
1.1 数据
1.2 模型构建
2 结果与讨论
2.1 模型系数
2.2 介电常数计算结果比较
3 结束语
参考文献

摘要

基于实验室测量数据，构建了盐度和温度多项式形式的 L 波段海水介电模型，并采用最小二乘法和奇异值分解技术求解模型系数。将新模型与目前广泛使用的 Klein-Swift（KS）模型、Meissner-Wentz（MW）模型以及 George Washington University（GWU）模型进行比较。结果表明：新模型计算的海水介电常数与实验室测量数据的 RMSE 误差为 0.09（实部）和 0.25（虚部），均优于 KS、MW、GWU 模型。

Abstract

Based on laboratory measurement data，a L-band seawater dielectric model in the form of salinity and temperature polynomials is constructed，and the coefficient of the model is solved by least square method and singular value decomposition technique. The new model is compared with the currently widely used Klein-Swift （KS）model，Meissner-Wentz（MW）model，and George Washington University（GWU）model. The results show that the RMSE errors between the new model values and the measured data are 0.09（real part）and 0.25（imaginary part），which are better than KS，MW and GWU models.

关键词

介电常数；亮温；海面盐度； L 波段

Keywords

dielectric constant ； bright temperature ； sea surface salinity ； L-band

0 引言
温室效应不断积累，地气系统吸收与发射的能量不平衡，能量不断在地气系统累积，从而温度上升，全球气候变暖，导致极地海冰快速消融，在过去的几年中，北极的海冰范围呈现出一种长期的下降趋势^[1]。海冰的快速消融，影响了极地海域的海洋盐度，因此对极地海域海洋盐度的观测逐渐得到重视。目前对于海面盐度的研究，大多集中在遥感卫星观测、现场实测等方面。现场观测虽然精度高，但是无法获取大范围的海面盐度数据，且费时费力。微波遥感反演是获得大范围盐度数据的有效手段。目前，国际上海表盐度遥感卫星有：欧空局 ESA（European Space Agency）于 2009 年发射的土壤湿度和海洋盐度卫星（Soil Moisture and Ocean Salinity，SMOS）以及美国国家航空航天局 NASA （National Aeronautics and Space Administration）于 2011 年和 2015 年发射的宝瓶座盐度卫星（Aquarius/ SAC-D）和土壤湿度主 – 被动遥感卫星（ Soil Moisture Active Passive，SMAP）^[2-4]。盐度遥感卫星通过接收海面辐射亮温，提取海面盐度信息。由辐射传输方程可知，海面微波辐射可以表示为海面温度与海面发射率的乘积。海面发射率可以表示为平静海面发射率与粗糙海面发射率之和，其中平静海面发射率由菲涅耳方程和海水介电模型描述，是辐射计观测亮温中对海面盐度变化敏感的部分。在盐度遥感应用中，要求精度优于 0.1~0.2 psu，考虑到 L 波段亮温对盐度变化的敏感性只有 0.2~0.8 K/psu，这就对海水介电常数提出了苛刻的要求^[5]。
在早期研究中，STOGRYN、KLEIN、SWIFT、 ELLISON 等人利用德拜表达式初步建立了海水介电常数的模型函数^[6-9]。KLEIN 和 SWIFT（以下简称 KS）以及 HO、HALL 等人分别在 2.6 GHz 和 1.4 GHz 的测量基础上，使用了不同的静态介电常数 ε_s（S，T）表达式，对 STOGRYN 模型进行了修正，KS 和 STOGRYN 的海水介电常数模型适用于 L 到 X 波段的频率范围^[10-11]。MEISSNER 和 WENTZ（以下简称 MW）开发的另一种模型函数将介电常数数据拟合到双德拜多项式上，该多项式在更高频率下表现更好^[12]。MW 模型函数在 2012 年和 2014 年基于 WindSat 和 AMSR 的 C 波段和 X 波段信道的结果，对 Debye 参数进行了微调^[13-14]。 MW 模型用于 Aquarius 和 SMAP SSS 反演算法。为了改进模型功能，最终提高盐度反演的准确性，乔治华盛顿大学（George Washington University， GWU）测量了 1.413 GHz（遥感使用的频率）的介电常数，并于 2017 年基于这些实验室测量数据，将介电常数展开为 S 和 T 的三阶多项式，开发了海水介电模型函数，简称 GW2017 模型^[15]。此外，为了进一步研究海水在低温下的介电常数，乔治华盛顿大学又对盐度为 30 psu、34 psu、35 psu，温度为–1.5~3℃的海水进行了测量。2021 年，构建了由德拜分子共振项和电导率项组成的基于物理的模型函数，简称 GW2020（以下简称 GWU）^[16]。
但是，目前广泛使用在海面盐度遥感领域中的 Klein-Swift 模型、Meissner-Wentz 模型在低海温时盐度反演误差较大，因此本文旨在使用更大盐度和温度范围内的实验数据发展一个包含低温条件下的高精度 L 波段的介电模型。本文第 1 章介绍了构建海水介电常数模型所使用的数据与方法；第 2 章介绍了新模型的系数并将新模型函数与其它现有模型在介电常数模拟精度方面进行了比较；第 3 章是结论。
1 数据与方法
1.1 数据
本文为了建立介电模型函数，使用了 LANG、 ZHOU 等人在 2017 年之前，在温度为 0~35℃、盐度值为 30 psu、33 psu、35 psu、38 psu 的情况下进行的海水介电常数的测量数据，温度间隔为 5℃^[17]。此外，为了进一步研究海水在低温下的介电常数，还使用了 ZHOU 等人 2018 年之后的新测量数据^[16]。
图1 测量数据点
Fig.1 Measurement data points
1.2 模型构建
新模型函数用盐度 S 和温度 T 的多项式表示：

ε (S, T) = \sum_{m = 0}^{L} \sum_{n = 0}^{L} p_{m, n} S^{m} T^{n}

(1)

式中： $ε$ 为海水介电常数；未知复系数 $p_{m ， n}$ 根据测量数据，可以通过奇异值分解（Singular Value Decomposition，SVD）技术^[18-19]直接求解；m、n 分别表示盐度 S 和温度 T 的阶数；L 表示 S 和 T 的最高阶。
在指定模型函数的多项式的阶数尚未确定时，将考虑 L=3，4，5 阶的值。做出选择的标准将基于数据和模型函数预测之间的均方根误差（RMSE）。定量地表示实部和虚部的均方根误差为

\begin{matrix} R M S E' = \sqrt{\frac{1}{v} \sum_{i = 1}^{α} \sum_{j = 1}^{β} Δ ε_{i, j}^{'}^{2}} \\ {RMSE}^{''} = \sqrt{\frac{1}{v} \sum_{i = 1}^{α} \sum_{j = 1}^{β} Δ ε_{i, j}^{'' 2}} \end{matrix}

(2)

式中： $v$ 是自由度，假设数据点的个数为 N=77，多项式系数的个数为 M，则 $v$ =N–M，这个差值就是模型函数施加约束后剩下的独立随机变量的个数；α 和β分别为盐度和温度的数据点数量； $Δ ε_{i ， j}^{'}$ 和 $Δ ε_{i ， j}^{''}$ 分别为模型函数值与实测数据的实部与虚部之差。
模型函数的系数是通过最小化介电测量数据与模型函数之间的归一化平方误差得到的。对系数的实部 $p_{m ， n}^{'} = R e (p_{m ， n})$ 和虚部 $p_{m ， n}^{''} = I m (p_{m ， n})$ 分别进行最小化。对于 $p_{m ， n}^{'}$ 模型函数值与实测数据之差被定义为

Δ ε_{i, j}^{'} = ε_{i, j}^{'} - ε^{'} (S_{i}, T_{j}) = ε_{i, j}^{'} - \sum_{m = 0}^{L} \sum_{n = 0}^{L} p_{m, n}^{'} S_{i}^{m} T_{j}^{n}

(3)

式中： $S_{i}$ 为海水样品盐度的第 i 值；T_j 为测量温度的第 j 值； $ε_{i ， j}^{'}$ 为在 $S_{i}$ 和 $T_{j}$ 处测量的介电常数的实部值； $ε^{'} (S_{i} ， T_{j})$ 为模型函数在 $S_{i}$ 和 $T_{j}$ 处的实部。根据 PRESS 等人^[18]，将 $Δ ε_{i ， j}^{'}$ 除以实验室测量数据的标准差，得到归一化差值

X_{i, j}^{'} = \frac{Δ ε_{i, j}^{'}}{σ_{i, j}^{'}}

(4)

式中： $σ_{i ， j}^{'}$ 为测量数据在 $S_{i}$ 和 $T_{j}$ 处的测量误差，其数值越小表明测量数据越精确，具体数值由文献 ^[16]给出。归一化差值 $X_{i ， j}^{'}$ 保证了测量精度越高的数据对代价函数最小化影响的权重越大。 $X_{i ， j}^{'}$ 其平方误差为

χ^{' 2} = \sum_{i = 1}^{α} \sum_{j = 1}^{β} X_{i, j}^{' 2}

(5)

式中：α 和 β 分别为测得的盐度和温度值的个数； $χ^{' 2}$ 为代价函数^[18]。
将式（3）和式（4）代入式（5），并将其化为矩阵形式，可以简化 $χ^{' 2}$ 的最小化过程。然后利用 SVD 技求最小解，矩阵公式的细节如下。注意：虚部系数 $p_{m ， n}^{''}$ 的确定过程与此类似，虚部的代价函数记为 $χ^{'' 2}$ 。
将式（3）和式（4）代入式（5），得到卡方统计量：

χ^{' 2} = \sum_{i = 1}^{α} \sum_{j = 1}^{β} {(\sum_{m = 0}^{L} \sum_{n = 0}^{L} p_{m, n}^{'} \frac{S_{i}^{m} T_{j}^{n}}{σ_{i, j}^{'}} - \frac{ε_{i, j}^{'}}{σ_{i, j}^{'}})}^{2}

(6)

矩阵形式下，式（6）可以写成

χ^{' 2} = {|A^{'} \cdot p^{'} - b^{'}|}^{2}

(7)

式中：矩阵 $A^{'}$ 由元素 $\frac{S_{i}^{m} T_{j}^{n}}{σ_{i ， j}^{'}}$ ' 构成；列向量 $p^{'}$ 由多项式系数 $p_{m ， n}$ 构成，是模型函数系数 $p_{m ， n}^{'}$ 的列向量；列向量 $b^{'}$ 由元素 $\frac{ε_{i ， j}^{'}}{σ_{i ， j}^{'}}$ '构成。因此，最小化问题可以表述为求 $p^{'}$ 使（7）最小化。
矩阵 $A^{'}$ 称为设计矩阵，是一个 N×M 矩阵（N 和 M 的定义见第 1.2 节）。行数 N 等于数据点总数，列数 M 等于（L+1）²。矩阵 $A^{'}$ 的表达式为

A^{'} = W^{'} \cdot * A = [\begin{matrix} \frac{1}{σ_{1}^{'}} \\ \frac{1}{σ_{2}^{'}} \\ ⋮ \\ \frac{1}{σ_{N}^{'}} \end{matrix}] * [\begin{matrix} S_{1}^{0} T_{1}^{0} & \dots & S_{1}^{L} T_{1}^{0} & \dots & S_{1}^{0} T_{1}^{L} & \dots & S_{1}^{L} T_{1}^{L} \\ S_{2}^{0} T_{2}^{0} & \dots & S_{2}^{L} T_{2}^{0} & \dots & S_{2}^{0} T_{2}^{L} & \dots & S_{2}^{L} T_{2}^{L} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ S_{N}^{0} T_{N}^{0} & \dots & S_{N}^{L} T_{N}^{0} & \dots & S_{N}^{0} T_{N}^{L} & \dots & S_{N}^{L} T_{N}^{L} \end{matrix}]

(8)

式（8）中的 $W^{'}$ 为权重矩阵；式（7）中的向量 $b^{'}$ 是权重矩阵 $W^{'}$ 乘测量的介电常数值。
最后，利用 SVD 技术可以找到最小解。解决方案为

p^{'} = \sum_{m = 1}^{L} \sum_{n = 1}^{L} (\frac{U_{m, n}^{'} \cdot b^{'}}{λ_{m, n}^{'}}) V_{m, n}^{'}

(9)

式中：列向量 $V_{m ， n}^{'}$ 为特征值问题 ${(A^{'})}^{T} A^{'} V_{m ， n}^{'} =$ $λ_{m ， n}^{' 2} V_{m ， n}^{'}$ 的解； $U_{m ， n}^{'}$ 为相关特征向量问题的解； $λ_{m ， n}^{'}$ 为奇异值。求虚部系数 $p_{m ， n}^{''}$ 的方法与求解实部系数的方法类似。
2 结果与讨论
2.1 模型系数
在本节中，根据 1.2 节介绍的方法，确定了模型函数多项式的阶数，并给出模型的相关系数，最后建立新模型。
对多项式类型 L=3，4，5，采用 SVD 方法得到模型函数表达式。基于这些模型函数，分别计算了实部和虚部的 RMSE 的值。表1 列出了这些值。
表1 不同阶次多项式模型的误差
Table1 Errors of polynomial models of different orders
由表2 可以看出，当 L=4 时，实部和虚部的 RMSE 均小于 L=3 和 L=5。因此选择 L=4 作为本文模型的最高阶数。表2 和表3 给出了 L=4 时多项式系数的实部和虚部。
表2 模型拟合系数（实部）
Table2 Model fitting coefficient（real part）
表3 模型拟合系数（虚部）
Table3 Model fitting coefficient（imaginary part）
2.2 介电常数计算结果比较
在本节中，将新模型函数与 KS 和 MW 模型函数以及 GWU 模型计算的不同温度和盐度条件下的 L 波段海水介电常数虚部和实部进行比较。
模型函数值与测量数据的 RMSE 误差比较见表4。
4 种模型函数在实验室测量点处的偏差如图2 （a）–2（h）所示。
表4 模型函数值与测量数据的 RMSE 误差
Table4 RMSE errors between model function values and measured data
由表4 知，新模型计算的海水介电常数与实验室测量数据的 RMSE 误差为 0.09（实部）和 0.25 （虚部），KS 模型、MW 模型、GWU 模型在实部比新模型对实验室测量数据的 RMSE 高估了 0.37、 0.44、0.01；在虚部高估了 0.1、0.28、0.03。所以，无论是实部还是虚部，由新模型计算的介电常数都与实测数据更吻合。为了更好地理解拟合误差，在图2（a）–2（h）中，在 L = 4 的情况下，绘制了 4 种模型的 $|Δ ε_{i ， j}^{'}| 和 |Δ ε_{i ， j}^{''}|$ 与盐度和温度的关系图。可以看出，GWU 模型和新模型的 $ε^{'}$ 与测量数据的拟合都很好，虽然 $ε^{''}$ 的偏差大于 $ε^{'}$ ，但使用相同测量数据拟合的 GWU 模型和新模型的拟合效果优于 KS、MW 模型。
4 种模型在盐度 S=0，30，35 时计算的介电常数实、虚部对比（包含实验室数据点）如图3（a） –3（f）所示。对于 0 psu，只有 KS 模型计算的实部–5~5℃时明显偏低，其他模型非常接近，而 4 种模型计算的虚部仅在–5~0℃的低温下，有些许偏差，其他温度下基本一致；对于 30 psu 和 35 psu， MW 模型实部整体偏低，KS 模型实部仍然在低温时明显偏低，与实验室测量数据点有较大偏差，而 4 种模型计算的虚部在–5~35℃的温度下几乎一致。由图可知，GWU 模型和新模型函数无论实部还是虚部均与实验室测量数据最为吻合。其中， KS 模型在 5℃以下误差较大的可能原因是在构建时使用了温度为 5、10℃、20℃、30℃的数据，未包含 5℃以下的低温数据；而 MW 模型所使用的数据集是从卫星反演数据中反推得到的，其数据代表性和模型的适用性受到限制，且由上述结果可知，其计算的介电常数实部在海温–5~35℃下，与实验室测量数据相比误差较大。
图2 4 种模型在实验室测量点的偏差对比图
Fig.2 Comparison of deviations of 4 models at laboratory measurement points
图3 4 种模型在不同盐度时介电常数实、虚部对比图
Fig.3 Comparison of real and virtual dielectric constants of 4 models at different salinities
3 结束语
本文基于 LANG、ZHOU 等人的实验室测量数据，采用最小二乘法和奇异值分解技术求解模型参数，构建了一个多项式形式的 L 波段海水介电模型。为了验证模型的精度，本文将新模型与 KS 模型、MW 模型、GWU 模型以及 SMAP 卫星实测数据进行比较，发现新模型计算的介电常数误差为 0.09（实部）和 0.25（虚部），优于其它 3 个模型。
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基本信息

中图分类号: P76
文献标识码: A
DOI: 10.19838/j.issn.2096-5753.2024.07.009
文章编号: 2096-5753(2024)07-0072-07

基金信息

山东省自然科学基金面上项目“基于星载 L 波段主被动观测的近全天候海面盐度和风速反演方法研究”（ZR2020MD095）；

引用信息

李伊凡，李新宇，王进. L 波段海水介电模型构建与误差分析[J]. 数字海洋与水下攻防，2024，7（1）：72-78.

稿件历史

收稿日期: 2023-11-20

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L波段海水介电模型构建与误差分析

Construction and Error Analysis of L-band Seawater Dielectric Model

摘要

Abstract

关键词

Keywords

0 引言

1 数据与方法

1.1 数据

1.2 模型构建

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

2 结果与讨论

2.1 模型系数

2.2 介电常数计算结果比较

3 结束语

参考文献

基本信息

基金信息

引用信息

稿件历史

参考文献

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(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

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2 结果与讨论

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