0 引言

极低频电场透地通信 ^[1]（ Through-the-earth ELF Communications）同陆地可控源电磁法类似，利用人工交流电源通过接地发射电极以一定频率对地或在海水中供电，产生时变电磁场，在地表或海底布设电磁场测量设备测量该电磁场，进而实现通信的目的。

各接收点为了获得准确的信号响应以及传递的信息，需要对所采集的电场数据进行处理分析。然而，在开展极低频电场透地通信时，各接收点采集的电场数据中包含各种复杂的噪声，如采集设备的本底噪声、人文噪声以及其它干扰源产生的噪声等^[2]。当收发距较大时，采集获得的电场数据具有较低的信噪比，并且有效信号可能淹没于复杂的噪声中，严重干扰所传递的信息。因此，需对大收发距、低信噪比的极低频电场透地通信数据进行滤波处理。

目前对极低频电场透地通信数据进行滤波处理的主要方法有频率域滤波、小波阈值去噪等方法。然而，在有效信号与噪声成分频率相近或者噪声能量较强时，此时频率域滤波或者小波阈值滤波等不易区分有效信号和噪声，需要多次尝试不同的滤波参数，不易达到理想的噪声压制效果。奇异值分解^[3-4]是一种重要的矩阵分解方法，在数据分离^[5-7]、图像处理^[8-10]及信号处理^[11-15]等方面具有广泛的应用，并且在 UUV 集群反水雷搜索中也得到了应用^[16]。奇异值分解应用到信号处理时，通过将数据构造成 Hankel 矩阵^[17]，分解得到对角奇异值矩阵和 2 个正交矩阵。不同的奇异值分别对应数据中不同的成分，一般情况下，信号所对应的奇异值较大，噪声所对应的奇异值较小。因此，将噪声对应的奇异值与相应的奇异向量赋零值，而保留信号对应的元素，重构数据后便达到了噪声压制的目的。然而，在有效信号与噪声成分频率相近或者噪声能量较强时，经过一次奇异值分解滤波处理，往往只能压制部分噪声，同样无法达到理想的噪声压制效果。

本文提出了一种两步奇异值分解滤波方法，同样假设有效信号与噪声相互独立，并且有效信号具有较大的奇异值。通过 2 次奇异值分解，分别删除较小的奇异值且保留较大的奇异值来提取电场数据中的信号成分，从而压制其噪声成分。将该方法应用到某水库实测数据中，结果表明该方法可以明显压制数据中的噪声成分，极大提高了数据的信噪比。

1 奇异值分解

奇异值分解是一种矩阵正交化方法，在一个行或列线性相关的矩阵左右分别乘上一个正交矩阵，便可将原矩阵中的行或列变为线性独立的^[18]。对任意大小为 m×n 的矩阵 A，其秩为 r，那么存在 2 个大小分别为 m×m 和 n×n 标准化的正交矩阵 U 和 V，以及大小为 m×n 对角矩阵 D，满足^[13]：

其中：

式中：$\mathrm{\Sigma }=\left({\lambda }_1{\lambda }_2\cdots {\lambda }_r\right)，{\lambda }_1\ge {\lambda }_2\ge \cdots \ge {\lambda }_k\ge \cdots \ge {\lambda }_r，{\lambda }_k$为奇异值；对角矩阵 D 又称为奇异值矩阵。

矩阵的奇异值具有良好的稳定性，不同的奇异值可反映矩阵不同的特征。

2 奇异值分解滤波算法

在对信号进行滤波处理时，可以通过奇异值分解筛选出信号所对应的奇异值，从而达到滤波去噪的目的。然而，通过各种传感器采集得到的信号响应并不是矩阵而是时间序列，因此需要先将信号的时间序列转换成矩阵，然后才能进行奇异值分解。

假设有时间序列 $\mathit{X}=\left(x_1{x}_2\cdots x_N\right)$，将其构造成 Hankel 矩阵：

式中：$1<m<N;1<n<N$。

考虑到时间序列包含元素的数量很大，为了避免 Hankel 矩阵中每行的元素过多，在构造 Hankel 矩阵时相邻 2 行重叠的元素可以少于 n-1个。

对 Hankel 矩阵进行奇异值分解，便可得到正交矩阵 U 和 V 以及奇异值矩阵 D。实测信号中往往包含各种噪声，考虑到信号和噪声具有不同的特性，因此它们具有不同的奇异值。一般情况下，信号具有较大的奇异值，而噪声具有较小的奇异值。因此，保留奇异值矩阵 D 中较大的奇异值，将较小的奇异值赋零，然后按照奇异值分解的逆过程对其进行重构，便可得到滤波后的信号。通常，将特征值由大到小排列，较大特征值之和占特征值总和达到 80%，保留这部分特征值并将剩余较小特征值赋零。

然而，在信号和噪声的特征相近时，它们具有相近的奇异值，进行一次奇异值分解滤波并不能达到令人满意的噪声压制的效果。这时，将滤波后的信号构造成与第一次奇异值分解滤波时大小不同的 Hankel 矩阵，再进行一次奇异值分解滤波，便可进一步压制与信号特征相近的噪声。

3 应用

3.1 试验情况

2022 年 9 月，在某水库开展了极低频电场透地通信试验。该试验观测系统布设如图1 所示，其中发射源为电偶极源，布设在岸边；3 个测点均设置 2 个通道，可采集 2 个互相垂直的水平电场分量，布设在水库底部。发射源和 3 个测点的参数信息如表1 所示，其中测点的布设角度为通道 1 的方向角。

试验期间，分别发射 8 Hz、8 Hz 和 4 Hz 的正弦信号，每次发射持续 5 min，采集系统的采样率为 1 024 Hz，为了处理方便，我们将其重采样为 32 Hz。选取信号发射期间 3 个测点采集的电场数据，来验证两步奇异值分解滤波方法的有效性。

3.2 数据处理

通过两步奇异值分解滤波方法对 3 个测点进行滤波处理，以 A 测点为例，说明该方法的滤波效果。A 测点通道 1 的时间序列如图2（a）所示，红色曲线为原始电场数据，蓝色曲线为 1 次奇异值分解滤波后的电场数据，青色曲线为 2 次奇异值分解滤波后的电场数据，可以看出 1 次奇异值分解滤波后噪声大部分被压制，2 次奇异值分解滤波后噪声被进一步压制，从时间序列中已可分辨出 3 次信号发射时段。

图2（b）为 A 测点通道 1 电场数据滤波前的时频振幅谱，可知在 7~9 Hz 之间持续存在条带状异常，这与舒曼共振的频率（7.83 Hz）吻合。此外，A 测点通道 1 原始数据中还存在贯穿全频率的线状异常，以及能量较强的背景噪声等。图2（c） 为一次奇异值分解滤波后的时频振幅谱，7~9 Hz 之间持续存在条带状异常以及背景噪声得到压制，但贯穿全频率的线状异常仍然存在。图2（d）为二次奇异值分解滤波后的时频振幅谱，7~9 Hz 之间持续存在条带状异常以及背景噪声得到进一步压制，并且贯穿全频率的线状异常也得到明显压制，使得 3 次信号发射时的信号响应更加明显。

A 测点通道 2 的时间序列如图3（a）所示，红色曲线为原始电场数据，蓝色曲线为一次奇异值分解滤波后的电场数据，青色曲线为二次奇异值分解滤波后的电场数据，可以看出一次奇异值分解滤波后噪声大部分被压制，二次奇异值分解滤波后噪声被进一步压制。图3（b）为 A 测点通道 2 电场数据滤波前的时频振幅谱，相比于通道 1，通道 2 电场数据中 3 次信号发射时的信号响应较小，通道 2 与发射方向的夹角较大，有效接收极间距小于通道 1。此外，通道 2 中同样在 7~9 Hz 之间持续存在条带状异常、贯穿全频率的线状异常以及能量较强的背景噪声等。图3（c）为一次奇异值分解滤波后的时频振幅谱，7~9 Hz 之间持续存在条带状异常以及背景噪声得到压制，但贯穿全频率的线状异常仍然存在。图3（d）为二次奇异值分解滤波后的时频振幅谱，7~9 Hz 之间持续存在条带状异常以及背景噪声得到进一步压制，并且贯穿全频率的线状异常也得到明显压制，使得 3 次信号发射时的信号响应更加明显。

为了定量地评价两步奇异值分解滤波方法对电场数据的改善效果，引入信噪比（Signal-to-Noise Ratio，SNR）作为评价参数，其计算公式如下：

式中， P_s 和 P_n 分别为信号和噪声的功率。如果滤波方法有效，那么相比于滤波前，滤波后的数据应当具有更高的 SNR。

这里，为了将 SNR 这一评价参数应用到实际数据中，将式（6）中的 P_s 定义为某一频率信号响应所在频率的平均功率，将 P_n 定义为该频率附近频率的平均功率。实际上，这种方法计算得到的SNR 明显大于严格按照定义计算得到的 SNR，不过仍然可以作为噪声压制效果的评价参数。

截取 3 次信号发射所在时间段 3 个测点的电场数据，分别计算其滤波前后的 SNR，如表2 所示。经过两步奇异值分解滤波之后，3 次信号发射时的信号响应所在时间段的 SNR 均得到显著提高。需要说明，B 测点通道 2 与发射方向几乎垂直，有效接收极间距很小，导致 2 次 8 Hz 发射信号均完全淹没在噪声中，已无法还原。这表明，在原始数据具有一定信噪比的前提下，两步奇异值分解滤波方法可以有效压制噪声，从而提高数据的信噪比。

4 结束语

本文基于奇异值分解，提出了一种两步奇异值分解滤波方法，用以改善极低频电场透地通信数据的质量。某水库 3 个测点的实测数据处理结果表明：

在极低频电场透地通信原始数据具有一定信噪比的情况下，两步奇异值分解滤波方法在突出有效信号的同时可以有效压制电场数据中的干扰噪声，使得滤波后数据的信噪比明显提升，从而极大地改善数据质量。

参考文献