0 引言

水下无线传感器网络是一种由水下传感器节点、水面基站和岸基中心等组成的水域监测网络系统，在海洋资源勘探、海洋灾害预警、海洋权益维护和海洋安全防御等多个领域中发挥着重要作用^[1]。通过大量分布的传感器可以实时感知诸如盐度、温度、酸碱度、压力和波浪等海洋参数，从而了解水下环境和水下目标等相关信息^[2]。然而，水下传感器通常采用蓄电池进行供电，需要不断地进行充电和更换，而且水下环境的特殊性使其困难性进一步加剧，导致其维护成本高昂，若不加充电或更换，则其能量资源有限、持续工作能力不足。

为了降低水下传感器的维护成本高同时延长其持续工作能力，需要对其进行原位供电。海洋中蕴藏有储量巨大的可再生能源，包括潮汐能、波浪能、海流能、温差能和盐差能等，其中海流能与波浪能因其具有分布范围广、能量密度高等特点，有望成为水下传感器的主要能量来源^[3]。目前，根据发电原理的差异，水下能量收集技术主要可以分为电磁式^[4]、压电式^[5]、摩擦电式^[6]、以及介电弹性体发电机（Dielectric Elastomer Generator，DEG） ^[7]。与其它水下能量收集技术相比，DEG 具有功率密度（能量密度）高、变形大、疲劳寿命高、以及适用于低频带等优质特性^[8]，适合于收集波浪能和海流能为水下传感器原位供电。

DEG 通常是一种类似于三明治的多层结构，由柔性的介电弹性体（Dielectric Elastomer，DE） 芯层材料和覆盖在芯层上下表面的柔性电极材料组成。自从 2001 年 PELRINE 等人^[8]首先提出基于 DE 的发电模式，并开发了鞋跟 DEG 用于收集人体运动的动能，之后由于其优异特性，被应用于收集海洋能。CHIBA 等人首次在实验室环境下成功演示了基于 DE 的波浪能发电器的能量收集，并在实际海况下测试了安装于浮标上的 DE 波浪发电器，在偏置电压为 2 000 V 时，收集的电能平均功率为 0.25 W^[9-10]。JEAN 等人^[11]在真实海况下对基于 DE 的驻波管波浪能量收集装置进行研究，发现在偏置电压为 2 200 V 时，其平均功率为 0.45 W，最大的功率为 2 W。MORETTI 等人^[12]提出了基于膨胀圆形薄膜 DEG（Inflated Circular Diaphragm DEG， ICD-DEG）的振荡水柱波浪能量收集装置，并进行了实验研究，获得的最大功率为 76.8 mW，并在真实海况下对其能量收集性能进行了测试。MORETTI 等人^[13]也提出了基于平行四边形形状的 DEG （Parallelogram-Shaped DEG，PS-DEG）的波浪能量收集装置。到目前为止，已有多款收集波浪能的 DEG 被报道，其具有结构简单、使用方便、价格低廉等优点，且其相关的研究主要集中于外界刺激 （浪高和波长）对 DEG 能量收集性能的影响，而缺少对 DEG 自身能量收集方案的优化设计。为了进一步提高 DEG 能量收集的性能，本文在考虑了 DE 材料自身粘弹性和漏电特性的基础上，对 DEG 自身能量收集方案进行了优化设计提高其自身性能，以便促进面向水下无线传感器网络供电的 DE 能量收集技术的发展。

1 DEG 理论模型

如图1（a）所示，处于未变形状态的圆形 DEG 的初始尺寸为半径 r 和厚度 h。这里假定 DE 膜是不可压缩的。在名义等双轴应力 s 和电压 Ф 作用后，DEG 的 2 个电极均获得电量 Q（极性相反），同时 DEG 的尺寸变为半径 λr 和厚度 λ^–2h，且沿着厚度方向引起漏电流 i_leak，如图1（b）所示，λ 表示 DEG 的面内整体拉伸比。作为一类高分子聚合物，DE 材料必然具有粘弹性，本文采用粘弹流变模型^[14-16]（如图1（c））来描述 DE 材料的粘弹特性。

该流变模型由 2 个并列的单元组成：单元Ⅰ为 1 个变形可逆的超弹性弹簧 α；单元Ⅱ由另一个变形可逆的超弹性弹簧 β 和 1 个粘壶串联而成。根据相应的几何关系，弹簧 α 变形的拉伸比为 λ。弹簧 β 变形的拉伸比可以表示为 λⁱ =λ/ξ。其中，ξ 表示粘壶的非弹性拉伸比。为了描述 DE 材料的应变刚化效应和有限变形行为特性，采用 Gent 模型^[17]来表征单元Ⅰ和Ⅱ的应变能。在此基础上，可以获得粘弹性 DEG 的本构方程^[14，18]如下

$s=\frac{{\mu }^{\alpha }\left(\lambda -{\lambda }^{-5}\right)}{1-\left(2{\lambda }^2+{\lambda }^{-4}-3\right)/J^{\alpha }}+$

式中：ε₀ 为真空介电常数；ε_r 为 DE 材料的相对介电常数；μ^α 为弹簧 α 的剪切模量；μ^β 为弹簧的 β剪切模量；J ^α 为弹簧 α 的变形极限常数；J^β 为弹簧 β 的变形极限常数。另外，定义材料参数$\chi$ =μ^α/μ，表示不具有时间效应的聚合物网络所占的比重，用于表征材料的粘弹性^[19]。随着$\chi$的增大，材料粘性减小，弹性增大，μ=μ^α +μ^β 表示 DE 材料的瞬时剪切模量。

流变模型中的粘壶可以被看作为牛顿流体来建模^[15]，在方向 1 和方向 2，其变形率分别为 ξ^-1dξ/dt，与其应力的关系如下：

式中：η 为粘壶的粘度；粘弹松弛时间被定义为 t_v=η/μ^β。

如图2（a）所示，能量收集方案选取矩形收集方案^[14]，相应的能量收集电路如图2（b）所示。图2（c）表示外界激励的位移随时间的变化，图2 （d）表示 DEG 的拉伸比随时间的变化。在图2（c） 中，参数 T 表示外界激励的循环周期，也等于 DEG 的循环周期，位移增加阶段的时间是 T_d，下降阶段的时间是 T–T_d。定义参数时间比 K=T_d/T，表示一个循环周期中位移增加阶段的时间占比。

由于 DE 是不完美的绝缘体，因而感应电场会引起沿着厚度方向的漏电流^[16]。通过将 DEG 表征为一个电容并联一个电阻来对漏电流进行建模（见图2（b））。因此，与 DEG 电极相连的导线中的电流 i可以被表达为

式中：C 为 DEG 的电容，其表达式为 $C={\epsilon }_0{\epsilon }_r\pi r^2{h}^{-1}{\lambda }^4$，漏电流 i_leak 可以表示为^[16]

式中：${\sigma }_{c0}$为低电场强度下 DE 材料的电导率；E_B 为经验常数；E 为电场强度，其表达式为 $E=\mathrm{\Phi }{\lambda }^2/h$。

矩形收集方案的实施过程总结如下。DEG 处于状态 O 时，其位移最小为 y_min，对应的预拉伸比为 λ_pre。然后，随着位移从 y_min 增大到 y_max，DEG 从预拉伸比 λ_pre 被拉伸到最大拉伸比 λ_max。当 DEG 处于拉伸过程 O–B，DEG在恒定电压下充电至 ФL，其变形速率为 v_s=（λ_max–λ_pre）/T_d。达到状态 B 后， DEG 充电结束。随着位移的减小，施加在 DEG 上的拉伸力减小，DEG 开始松弛，拉伸比减小，其变形速率为 v_r=（λ_pre–λ_max）/（T–T_d）。随着拉伸比的减小，电极间的电压增大。当电极之间的电压增加到 ФH（状态 C），稳压二极管 D_H 反向击穿。随着位移持续减小，DEG 进一步松弛，而电极之间的电压保持不变。当 v_r 较大时，由于材料的粘性，可能出现在位移减小到 y_min之前拉力降至 0 的现象 （这种现象已经在文献^[21]的实验中观察到），这会导致 DEG 可以松弛到的最小拉伸比 λ_min 大于 λ_pre，即 DEG 不能恢复到初始位置。这种情况由图2（a）中的循环 D-A-B-C-D 表示。当 v_r 较小，随着位移减小到 y_min，由于拉力大于 0，DEG 可以返回到初始位置^[21]，图3（a）中循环 E-F-B-C-E 表示这种情况。对于循环 D-A-B-C-D 而言，当 DEG 松弛到状态 P 时，拉力减小到 0，然后继续松弛，直到达到状态 D，因此，其松弛过程包括非自由松弛阶段 B-P（拉力大于 0）和自由松弛阶段 P-D（拉力等于 0）。而在循环 E-F-B-C-E 中，松弛过程只包括非自由松弛过程 B-E。当 DEG 处于自由松弛过程时，DEG 的变形率可以表示为^[22-23]

式中：$G_{\lambda }\text{和}{G}_{\xi }$ 两者可以被表达为

$G_{\lambda }=\frac{-{\mu }^{\alpha }\left(2{\lambda }^{-3}-8{\lambda }^{-9}\right)}{1-\left(2{\lambda }^2+{\lambda }^{-4}-3\right)/J^{\alpha }}+$

$\frac{4{\mu }^{\alpha }{\lambda }^{-1}{\left(1-{\lambda }^{-6}\right)}^2/J^{\alpha }}{{\left(1-\left(2{\lambda }^2+{\lambda }^{-4}-3\right)/J^{\alpha }\right)}^2}+$

$\frac{-{\mu }^{\beta }\left(2{\lambda }^{-3}{\xi }^{-2}-8{\lambda }^{-9}{\xi }^4\right)}{1-\left(2{\lambda }^2{\xi }^{-2}+{\lambda }^{-4}{\xi }^4-3\right)/J^{\beta }}+$

$G_{\xi }=\frac{-{\mu }^{\beta }\left(2{\lambda }^{-2}{\xi }^{-3}+4{\lambda }^{-8}{\xi }^3\right)}{1-\left(2{\lambda }^2{\xi }^{-2}+{\lambda }^{-4}{\xi }^4-3\right)/J^{\beta }}+$

为了能够表征在一个能量收集循环中 DEG 的能量收集性能，引入如下参数：漏电流耗散的能量 W_leak、能量密度 E_density、输入的机械能 W_mech 和机电转换效率 η_c。当图2（b）中输出端接入负载电阻 R 时，引入另外 2 个参数：负载耗能 P_R 和电源管理效率 η_pm，其中，对参数 W_leak、E_density，P_R 和 W_mech 进行无量纲化处理如下：

2 DEG 动态行为特性

在构建的 DEG 理论模型基础上，进一步研究时间比 K 和负载电阻 R 对矩形收集方案下 DEG 的动态相应特性的影响，以便更好地理解 DEG 的力学和电学参数的变化，并为后续通过调整时间比来优化能量收集方案以及匹配合适负载提供助力。选取 DEG 的参数为$\mu =600\mathrm{k}\mathrm{P}\mathrm{a}，\chi =0.5，J^{\alpha }=110，J^{\beta }=55\text{，}$ ${\epsilon }_r=3.5，t_v=1\mathrm{s}，{\epsilon }_0=8.85\times \frac{{10}^{-12}\mathrm{F}}{\mathrm{m}}，E_B=\frac{40\mathrm{M}\mathrm{V}}{\mathrm{m}}，\mathrm{}{\sigma }_{c0}=3.23\times \frac{{10}^{-14}\mathrm{S}}{\mathrm{m}}，{\mathrm{\Phi }}_H=5\mathrm{k}\mathrm{V}，{\mathrm{\Phi }}_L=2\mathrm{k}\mathrm{V}，f=0.25\mathrm{H}\mathrm{z}，r=20\mathrm{m}\mathrm{m}，h=0.5\mathrm{m}\mathrm{m}，{\lambda }_{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{e}}=2\text{和}{\lambda }_{\text{max}}=5.4$ ^{[14，16，19，20，24]}。为了便于比较分析，对参数进行无量纲处理如下：无量纲电压 ${\mathrm{\Phi }}_d=\mathrm{\Phi }/\left(h\sqrt{\mu /{\epsilon }_0{\epsilon }_r}\right)$，无量纲电荷$Q_d=Q/\left(\pi r^2\sqrt{\mu {\epsilon }_0{\epsilon }_r}\right)$，无量纲应力$s_d=s/\mu$，流经负载的无量纲电流 $i_{Rd}=i_R{t}_v/\left(\pi r^2\sqrt{\mu {\epsilon }_0{\epsilon }_r}\right)$，其中，i_R 表示流经负载 R 的电流。

图3 描述了当输出端接入负载电阻 R=500 MΩ 且时间比 K=0.1 时 DEG 的动态响应。由图3（a） 可见，DEG 的拉伸比可以减小到初始预拉伸比（状态 E）。而且，在整个循环 E-F-B-C-F 中都保持应力大于 0（见图3（f）），表明 DEG 不会经历自由松弛过程。图3（d）描述了处于稳定状态下的 DEG 流向负载电阻 R 的电流变化。当 DEG 松弛到状态 B 时，开始对负载电阻进行供电。随着电压的升高，负载电阻的电流 i_Rd 持续增加到状态 C。然后，由于恒定的高电压 Ф_H，电流 i_Rd 也保持恒定，直到松弛过程结束（在状态 E）。在 DEG 达到状态 E 之后，仍有 DEG 残余的电荷流过负载电阻，直到电压降低到 Ф_L。由图3（c）、（e）可见，由于部分电荷被负载电阻耗散，状态 C 的电荷会显著低于状态 B。在这种情况下，DEG 可以返回到初始位置，仅仅经历非自由松弛过程，且在该过程中保持高电压 Ф_H。

图4 展示了当输出端接入负载电阻 R=500 MΩ 且时间比 K=0.9 时 DEG 的动态响应。由图4（a） 可见，在状态 D，λ_min>λ_pre，表明 DEG 不能返回初始位置。另外，从图4（f）可见，DEG 会经历自由松弛阶段 PD。但是，在整个阶段 PD、DEG 不能够一直保持高电压 Ф_H（见图4（b）、（c）），相应地，流过负载电阻的电流也不会保持恒定（见图4（d））。另外，在 DEG 达到状态 G 后，其电压和通过负载电阻的电流都会开始降低。其主要原因是 DEG 上电荷的变化率不能同时满足高电压下的漏电流和通过负载电阻的电流。在此种情况下，DEG 不能够返回到初始位置，并经历自由松弛过程，且在该过程中不能够持续保持高电压 Ф_H。

图5 展示了当输出端接入负载电阻 R=100 MΩ 且时间比 K=0.1 时 DEG 的动态响应。如图5（a） 所示，DEG 的拉伸比可以减小到 λ_pre。由图5（f） 可知，阶段 BE 为非自由松弛过程，因此，DEG 不会经历自由松弛过程。如图5（b）、（c）所示，在一个周期中电压的曲线类似于一个半正弦波的冲击脉冲信号，其峰值低于高电压 Ф_H。另外，也可以看出，在 DEG 松弛初始预拉伸比之前，其电压已经降低到低电压 Ф_L（状态 E）。这主要是由于处于松弛过程的 DEG 的负载电阻小且变形速率低。尽管在阶段 EF，DEG 处于低电压，DEG 仍然向负载电阻供电（如图5（d）所示）。此种情况下，DEG 可以返回到初始位置，在此位置 DEG 处于低电压 Ф_L，仅仅经历非自有松弛过程，且在该过程中其电压不能升高到高电压 Ф_H。

图6 展示了当输出端接入负载电阻 R=25 MΩ 且时间比 K=0.9 时 DEG 的动态响应。如图6（a）、 （f）所示，DEG 的松弛过程包括非自由松弛过程（阶段 BP）和自由松弛过程（阶段 PD），且 λ_min>λ_pre，因此，DEG 不能返回初始位置。在松弛过程中，电压的曲线形成半正弦波的冲击脉冲，其峰值低于高电压 Ф_H（见图6（b））。从图6（b）可见，在 DEG 应力减小到 0（状态 P）之前，其电压已降低至低电压 Ф_L（状态 A），表明在非自由松弛过程中电压已经降低至 Ф_L。在整个松弛过程中，DEG 可以为负载电阻供电，如图6（d）所示。在此种情况下，DEG 不能返回到初始位置，且会经历自由松弛过程和非自由松弛过程，在自由松弛过程中，DEG 处于低电压 Ф_L，同时，在非自由松弛过程中，DEG 不能升高到高电压 Ф_H。

3 DEG 能量收集性能

在研究了 DEG 的动态特性后，进一步研究时间比 K 和负载电阻 R 对采用矩形收集方案的 DEG 的能量收集性能的影响，以便能够优化能量收集方案提高能量收集性能。正如前文所述，性能参数主要包括漏电流耗散的能量 W_leak、能量密度 E_density、输入的机械能 W_mech、机电转换效率 η_c、负载耗能 P_R 和电源管理效率 η_pm。

图7 展示了在不同的负载电阻 R 下时间比 K 对 DEG 的能量收集性能的影响。如图7 所示，当负载电阻较小，例如 R=25 MΩ 和 100 MΩ，如果时间比 K 低于某个临界值（图7 中采用“×”表示）， DEG 将不会产生电能，反而会浪费。由图7（a） 可见，当较大的负载电阻被供电，例如 R=500 MΩ，随着时间比 K 增大，漏电流耗散的能量 W_leak 会增加。当负载电阻减小到 100 MΩ 和 50 MΩ，W_leak 随 K 的变化呈现出先增大后减小的变化趋势。原因如下，当 K 较小时，在松弛过程中 DEG 的电压不能升高到高电压 Ф_H。随着 K 增大，电压峰值增大，导致漏电流增大，因而漏电流耗散的能量 W_leak 会增加。当 K 较大时，DEG 的电压可以升高到 Ф_H，随着 K增大。处于高压 Ф_H的时间减少，因而漏电流耗散的能量 W_leak 会减小。当负载电阻进一步减小到 R=25 MΩ 时，W_leak 随 K 的增大而增大。这是由于负载较小时，DEG 的电压不能升高到 Ф_H，而随着 K 增大，电压峰值增大，W_leak 也会增大。从图7（a）也可见，W_leak 随 R 的增大而增大。主要原因如下：随着 R 的增大，DEG 的电压的峰值增大（DEG 电压未达到 Ф_H），或者处于高压 Ф_H的时间延长（DEG 电压达到 Ф_H），因而漏电流耗散的能量 W_leak 会增大。

如图7（b）所示，增大时间比 K 和电阻 R 均可以提高 DEG 的能量密度。其原因如下：当 K 或者 R 增大时，DEG 的电压峰值增大（DEG 电压未达到 Ф_H），或者其电压升高到高压 Ф_H 时的电量 （见图3 状态 C）增多，导致在电压–电量平面内 DEG 稳态时封闭曲线围成的面积增大（见图3）。因此，DEG 收集的能量增加。由图7（c）所示，当 R 较大时，输入的机械能 W_mech 随 K 的变化是非单调的，当 R 较小时，随着 K 的增大，W_mech 也增大。如图7（d）所示，在 R=500 MΩ，随着 K 的增大，机电转换效率 η_c 会先增大后减小，而在 R=100 MΩ，50 MΩ 和 25 MΩ，η_c 会随着 K 的增大而增大。另外，从图7（d）可见，增大负载电阻也可以提高机电转换效率。

图7（e）描述了在不同负载电阻 R 下时间比 K 对负载耗散的能量 P_R 的影响。从图7（e）可见，在 R=500 MΩ，增大 K 会减小 P_R。对于较大的负载电阻 R，DEG 的电压可以升高到高电压 Ф_H，因而，P_R 主要由处于高电压 Ф_H 的时间所决定。所以，随着 K 的增大，DEG 处于高电压 Ф_H 的时间缩短， P_R 减小。当负载电阻 R 减小到 100 MΩ 和 50 MΩ，随着 K 的增大，P_R会先增大后减小。主要原因如下：正如前文所述，较小的 K，DEG 的电压不能升高到高电压 Ф_H，其电压峰值会随着 K 的增大而增大，导致 P_R 增大，而较大的 K，DEG 可以升高到 Ф_H，因此，随着 K 增大，P_R 减小。当 R 进一步减小到 25 MΩ，P_R 会随 K 的增大而增大，这主要是由于 R 较小时，DEG 不能升高到高电压 Ф_H。

图7（f）描述了在不同负载电阻 R 下时间比 K 对其电源管理效率 η_pm 的影响。在 R=500 MΩ，减小时间比 K 可以提高 η_pm。当 R 减小到 100 MΩ 和 50 MΩ，随着 K 的增大，η_pm 会先保持恒定然后减小。当 R 进一步减小到 25 MΩ，η_pm 保持恒定。其原因如下：当 DEG 的电压可以升高到高压 Ф_H，随着 K 的增大，E_density 会增大而 P_R 会减小，则 η_pm 会减小，而如果 DEG 不能升高到 Ф_H，则其全部收集到的电能被用于为负载电阻供电，因此，η_pm 会保持恒定为 100%。

4 结束语

针对水下无线传感器网络的 DE 能量收集技术存在能量收集性能低的问题，在考虑 DE 材料粘弹性和漏电特性的基础上，本文构建了矩形能量收集方案下可以表征自由松弛过程的 DEG 理论分析模型。在此基础上，研究了在不同负载电阻和外界激励位移增加阶段占整个周期的时间比， DEG 的动态响应和能量收集性能。主要结论如下： 1）增大负载电阻或时间比，可以提高 DEG 的能量密度；2）当负载电阻较大时，存在一个最优的时间比使机电转换效率最高，而在负载电阻较小时，增大时间比可以提高机电转换效率，另外，增大负载电阻可以提高机电转换效率；3）在较大负载时，增大时间比可以减小负载的能耗，而在较小负载时，增大时间比则会提高负载的能耗。另外，当负载处于中间值时，负载的能耗随时间比的变化是非线性的。需要指出的是，本文通过理论研究给出了 DEG 的优化设计措施，后续需要研究人员在实验室以及真实的海洋环境下对该优化措施进行验证和修正，并针对粘弹性对 DEG 能量收集性能的影响开展研究。综上，本文为面向水下无线传感器网络的 DE 能量收集技术的性能优化提供了新的解决途径。

参考文献